En büyük değerimiz [imath]2^{n+1}-1[/imath] olacaktır. Üssü bir arttırıp sonda bir çıkartmamızın sebebi tüm değerlerimizin topladığımızda [imath]2^0+2^1...+2^{n+1}-1[/imath] sonucunu alacağız. Bu sonucu şuradan buluyoruz. Sonlu elemanlı geometrik seri toplamı normalde şudur: (Görseli Wikipedia'dan aldım.):
"a" değerimiz yani aslında [imath]a_1[/imath] değerimiz [imath]2^0[/imath]'dan 1.
[imath]{1*(1-r^n)/(1-r)}[/imath] oldu formül. r değerimiz 2 ve terim sayımız yani n değerimiz 0'dan n'e kadar olduğu için n+1. Hepsini yerine yerleştirirsek
[math]1\frac{1-2^{n+1}}{1-2}[/math]
Aşağısı -1 oldu. Yukarısı [imath]1-2^{n+1}[/imath]. Yani -1'e bölersek [imath]-(1-2^{n+1})[/imath]. Eksiyi dağıtırsak [imath]-1+2^{n+1})[/imath]. Toplama da yer değiştirmek sonucu değiştirmek. Yer değiştirdiğimizde de formülü bulmuş oluyoruz. [imath]2^{n+1}-1[/imath]
En büyük değerimiz [imath]2^{n+1}-1[/imath] olacaktır demiştik. Bir küçüğü [imath]2^{n+1}-2[/imath], bir küçüğü yani 3. sayı [imath]2^{n+1}-3[/imath] olacaktır.
Ara not: İlk en büyük zaten formülü uyguladığımızda gelir. İkinci en büyük için en küçük kartı seçmemesi gerekir. Bu da [imath]2^0[/imath]'ı almaması demek oluyor. Bu değeri de toplam formülünden çıkartırsak [imath]2^{n+1}-1-2^0[/imath] oluyor. Diğer en büyük değer için de aynı mantık. Diğer en küçük değer [imath]2^1[/imath]. [imath]2^{n+1}-1-2^1[/imath].
Bu üçünün toplamı 1530 oluyormuş. Denklem kurarsak aşağıdaki sonucu buluruz.
[math](2^{n+1}-1)+(2^{n+1}-2)+(2^{n+1}-3)=1530[/math]
İfadeyi düzenlediğimizde elimizde 3 adet [imath]2^{n+1} ve -6[/imath] kalmış oldu. Yani:
[math]3.2^{n+1}-6=1530\\ \\ \frac{1536}{3}=2^{n+1}[/math]
Buradan 2 üzeri 9 512 yapar. Yani n değerimiz 8 olur.