Üslü sayı sorusunun çözümünü anlatabilecek var mı?

En büyük değerimiz [imath]2^{n+1}-1[/imath] olacaktır. Üssü bir arttırıp sonda bir çıkartmamızın sebebi tüm değerlerimizin topladığımızda [imath]2^0+2^1...+2^{n+1}-1[/imath] sonucunu alacağız. Bu sonucu şuradan buluyoruz. Sonlu elemanlı geometrik seri toplamı normalde şudur: (Görseli Wikipedia'dan aldım.):



"a" değerimiz yani aslında [imath]a_1[/imath] değerimiz [imath]2^0[/imath]'dan 1.

[imath]{1*(1-r^n)/(1-r)}[/imath] oldu formül. r değerimiz 2 ve terim sayımız yani n değerimiz 0'dan n'e kadar olduğu için n+1. Hepsini yerine yerleştirirsek

[math]1\frac{1-2^{n+1}}{1-2}[/math]

Aşağısı -1 oldu. Yukarısı [imath]1-2^{n+1}[/imath]. Yani -1'e bölersek [imath]-(1-2^{n+1})[/imath]. Eksiyi dağıtırsak [imath]-1+2^{n+1})[/imath]. Toplama da yer değiştirmek sonucu değiştirmek. Yer değiştirdiğimizde de formülü bulmuş oluyoruz. [imath]2^{n+1}-1[/imath]

En büyük değerimiz [imath]2^{n+1}-1[/imath] olacaktır demiştik. Bir küçüğü [imath]2^{n+1}-2[/imath], bir küçüğü yani 3. sayı [imath]2^{n+1}-3[/imath] olacaktır.

Ara not: İlk en büyük zaten formülü uyguladığımızda gelir. İkinci en büyük için en küçük kartı seçmemesi gerekir. Bu da [imath]2^0[/imath]'ı almaması demek oluyor. Bu değeri de toplam formülünden çıkartırsak [imath]2^{n+1}-1-2^0[/imath] oluyor. Diğer en büyük değer için de aynı mantık. Diğer en küçük değer [imath]2^1[/imath]. [imath]2^{n+1}-1-2^1[/imath].

Bu üçünün toplamı 1530 oluyormuş. Denklem kurarsak aşağıdaki sonucu buluruz.

[math](2^{n+1}-1)+(2^{n+1}-2)+(2^{n+1}-3)=1530[/math]

İfadeyi düzenlediğimizde elimizde 3 adet [imath]2^{n+1} ve -6[/imath] kalmış oldu. Yani:

[math]3.2^{n+1}-6=1530\\ \\ \frac{1536}{3}=2^{n+1}[/math]

Buradan 2 üzeri 9 512 yapar. Yani n değerimiz 8 olur.

seeraddar dedi:

Yani, 2'nin sıfırıncı kuvveti 1 olduğundan dolayı devamındaki çift sayılarla 1'i toplarsak sonucumuz tek olacaktı. Ama tek olursa sonucumuz 1530, yani çift bir sayı, olamazdı. O yüzden 1'i yok ettik ki sonucumuz çift sayı olsun ve 1530'u bulabilelim. Fakat 1'i yok ettiğimiz için eşitlik bozulmasın diye 2'nin kuvvetine 1 ekliyoruz. Hocam, ben burayı tam olarak anlamamıştım, hoca da anlatmamıştı. Sayenizde anladım. Çok teşekkürler.

Genişletmek için tıkla...

Küçültmek için tıkla...

Aslında öyle değil. Yanlış oldu biraz benim mantığım. 2 üzeri n olunca n'i 1 den başlattığımız için 2 üzeri 1+ 2 üzeri 2+ ..... 2 üzeri n oluyordu. Fakat bizde 2 üzeri 0 da var. Yani biz 2 üzeri n değil n+1 tane terim topluyoruz. Bu yüzden 2 üzeri n +1 oluyor. -1 gelmesinin asıl sebebi de terimlerinin toplamının her zaman 1 eksik gelecek olmasıdır. 2. terim için 2 üzeri 1 çıkartılır -2 bulunur. 3. terim için ise 2 üzeri 1 ve 2 üzeri 0 çıkartılır -3 bulunur.

Gece ana mesajımı düzenlerim. İşlem bakımından doğru zaten, açıklamayı doğru hale getiririm.

seeraddar dedi:

Tüm sayıların ikinin farklı doğal sayı kuvvetlerinin toplamı şeklinde yazıldığını söylemiş. Orada “farklı doğal sayı kuvvetleri” diyor. Şimdi, ikinin herhangi bir doğal sayı kuvveti -1 olamaz. Hadi diyelim doğal sayı olmasın, ikinin herhangi bir negatif kuvveti de -1 olamaz. Peki -1 nereden gelmiş? Soruda -1 yazmıyor. Paragrafta da -1 yok. -1’i nereden bulup da getiriyoruz? Böyle vahiy yoluyla mı iniyor bize? formül falan mı var? Ben orayı anlamadım.



Yani, 2'nin sıfırıncı kuvveti 1 olduğundan dolayı devamındaki çift sayılarla 1'i toplarsak sonucumuz tek olacaktı. Ama tek olursa sonucumuz 1530, yani çift bir sayı, olamazdı. O yüzden 1'i yok ettik ki sonucumuz çift sayı olsun ve 1530'u bulabilelim. Fakat 1'i yok ettiğimiz için eşitlik bozulmasın diye 2'nin kuvvetine 1 ekliyoruz. Hocam, ben burayı tam olarak anlamamıştım, hoca da anlatmamıştı. Sayenizde anladım. Çok teşekkürler.

Genişletmek için tıkla...

Küçültmek için tıkla...

Tam anlatımla güncelledim hocam. Verebileceğim tüm teorik bilgiyi verdim diye düşünüyorum. Yine de aklınızı karıştıran bir şey olursa lütfen söyleyin. Belki de benim hatam vardır çünkü.